マンハッタン距離を紐解く

マンハッタン距離を紐解く

マンハッタン距離とは

– マンハッタン距離とは
マンハッタン距離は、縦横の道が規則正しく交差した街をイメージすると理解しやすい距離の測り方です。例えば、碁盤の目のように区画整理されたマンハッタンをタクシーで移動する場面を想像してみてください。目的地まで遠回りせずに到着するには、縦または横に伸びる道を順番に移動することになります。この時、移動した道のりの合計がマンハッタン距離です。

より具体的に説明すると、２つの地点の位置を地図上の座標で表し、それぞれの座標の差の絶対値を足し合わせることで計算できます。例えば、地点Aの座標が(1,2)、地点Bの座標が(4,6)の場合、マンハッタン距離は|(4-1)|+|(6-2)|=7となります。

このようにマンハッタン距離は、直角に曲がる道のりを足し合わせていくため、別名「直交距離」とも呼ばれます。また、数学的な表現では「L1距離」と呼ばれることもあります。

ユークリッド距離との違い

– ユークリッド距離との違いマンハッタン距離は、しばしばユークリッド距離と混同されますが、両者は異なる距離の概念を表しています。ユークリッド距離は、2点を結ぶ直線の長さで定義されます。私たちが普段、地図上で2地点間の距離を考えるときや、物の長さや距離を測るときには、このユークリッド距離を用いています。一方、マンハッタン距離は、格子状の道の上を移動することを想定した距離です。例えば、碁盤の目のように区画整理された都市で、ある交差点から別の交差点までの距離を考える場合、マンハッタン距離が役立ちます。この場合、斜めに移動することはできないため、東西方向の移動距離と南北方向の移動距離を足し合わせたものが、マンハッタン距離となります。このように、マンハッタン距離はユークリッド距離のように直線距離を表すのではなく、格子状の制約の中で測定される距離と言えます。そのため、マンハッタン距離は、都市計画や経路探索、画像処理など、格子状のデータ構造を扱う分野で広く応用されています。

計算方法

– 計算方法

2つの地点間の距離を測る方法には、直線距離だけでなく、マンハッタン距離と呼ばれる方法も存在します。マンハッタン距離は、碁盤の目状に区画された道路を進むことを想定した距離で、現実世界の都市空間での移動を評価する際に役立ちます。

マンハッタン距離を求めるには、2つの地点の各座標の差の絶対値を足し合わせます。例えば、平面上の2地点A(x1, y1)とB(x2, y2)の間のマンハッタン距離を求めたいとします。まず、x座標の差とy座標の差をそれぞれ計算します。そして、それぞれの差の絶対値を計算し、最後にその2つを足し合わせます。具体的には、|x1 – x2| + |y1 – y2| という計算式で表されます。

この考え方は、平面上の2地点だけでなく、3次元以上の空間にも拡張できます。例えば、3次元空間上の2地点A(x1, y1, z1)とB(x2, y2, z2)の間のマンハッタン距離は、|x1 – x2| + |y1 – y2| + |z1 – z2| で計算できます。このように、マンハッタン距離は、いくつの次元空間であっても、各座標の差の絶対値を足し合わせることで簡単に計算できます。

応用例

– 応用例マンハッタン距離は、その名の通り、ニューヨークのマンハッタンのような格子状の街路を移動する際に便利な距離の測り方ですが、実際には様々な分野で応用されています。まず、機械学習の分野では、データの特徴量の類似度を測る際にマンハッタン距離が活用されます。例えば、2つのデータの特徴量がそれぞれ複数の数値で表されている場合、それぞれの数値の差分の絶対値を合計することで、2つのデータがどれくらい似ているかを判断することができます。これは、都市の街路を進むように、特徴量空間を移動するイメージと重なります。都市計画の分野でも、マンハッタン距離は建物の配置や道路網の設計などに役立ちます。例えば、消防署から病院までの距離を測る際に、マンハッタン距離を用いることで、実際の移動時間をより正確に反映することができます。さらに、チェスや倉庫内のロボットの移動経路など、格子状の空間での最適化問題にもマンハッタン距離は利用されます。チェスでは、駒の移動可能な範囲がマンハッタン距離で定義されており、ロボットの移動経路においても、障害物を避けて最短経路を求める際にマンハッタン距離が用いられます。このように、マンハッタン距離は一見単純な概念でありながら、様々な分野で応用されていることがわかります。

まとめ

– まとめ

今回の記事では、格子状の空間において距離を測る指標の一つであるマンハッタン距離について解説しました。マンハッタン距離は、その名前の通りニューヨークのマンハッタンのような格子状の街路を移動する際に実際に歩く距離を表すものとしてイメージすることができます。

マンハッタン距離は、同じように2点間の距離を表す指標であるユークリッド距離とは計算方法が異なり、それぞれ異なる特徴を持っています。ユークリッド距離が直線距離を表すのに対し、マンハッタン距離は水平方向と垂直方向の移動距離の合計で表されます。

マンハッタン距離は、その計算のシンプルさと分かりやすさから、様々な分野で応用されています。例えば、チェスのようなボードゲームにおける駒の移動距離や、都市計画における建物間の距離を測る際に利用されています。また、機械学習の分野でも、データの類似度を測る指標の一つとして用いられることがあります。

このように、マンハッタン距離はユークリッド距離とは異なる特徴を持つ距離の指標であり、様々な分野で広く活用されています。